fMRI解析の基礎 (４)：GLMの理論

１. 相関法

予測BOLDと測定BOLDとの相関が高いボクセルを特定します。具体的には、刺激による神経活動のボックスカーにhrfを畳み込んで予測BOLDを計算し、測定BOLDを目的変数として回帰します。

回帰係数$\beta$が相関を表し、タスクに感度の高いボクセルは$\beta$が高くなると推定できます。

ただし、$B_0$は基準BOLD、$\varepsilon (\mathrm{TR}_i)$は、平均 $0$ 分散 $\sigma_e^2$ のガウシアンノイズです。

これを全TRにかけて行列で表示しましょう。

この式は、 一般化線形モデル（GLM）と呼ばれます。$X$は実験設計を反映するため、設計行列 (Design Matrix) と呼ばれます。

刺激による神経活動が複数ある場合は、$x$を複数用意し線形結合することで説明できます。

２. 共線性 (Collinearity)

回帰問題では、説明変数同士の相関が共線性として問題となります。fMRIのGLMでは、神経活動の共線性が問題となります。

以下の２つを組み合わせると共線性を効果的に弱めることができます。

1. Jittering：刺激呈示を非周期的にします（間隔をランダムにします）。
2. Partial trials design：いくつかの試行で、一部の刺激を数十％除外します。

３. Nuisance 効果

前処理後も、タスクに関係ない変数による効果がいくつかデータに残ってしまっています。

これを Nuisance 効果として回帰モデルに取り込みます。代表的な変数は以下です。

• スキャナドリフトによる低周波ノイズ $\Delta$
• 心拍によるノイズ $\Delta_H$
• 呼吸によるノイズ $\Delta_R$

これらもまとめて設計行列$X$と回帰係数$\beta$に取り込むことができます。

４. FBR 法

Rapid Event-Related Design では、複数回の刺激による神経活動が重なることとなります。重ね合わせの原理から、各刺激に対するBOLDを複数の$\beta$とガンマ関数の畳み込みで表現し、各時点におけるBOLDを$\beta$の和で表現できます。それぞれの$\beta$を連立方程式によって同定することでtaskに対する効果を検出できます。連立方程式の解を求めるために、「Jittering」は不可欠です。

５. Macrolinearity と Microlinearity

FBR法はイベントの重ね合わせを予測し、相関法は個々の神経活動を予測します。ここで２つの仮定があります。

• Macrolinearity: イベントに対する重ね合わせ
• Microlinearity: 神経活動に対する重ね合わせ

FBR法は Macrolinearity を前提とします。相関法は Macrolinearity, Microlinearity のどちらも前提としますが、刺激のタイミングを完全にランダム化できます。

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Reference

• Ashby, F. G. (2019). Statistical analysis of fMRI data. MIT press. url
• fMRI in Neuroscience: Modeling the HRF With FIR Basis Functions. url